Ruum

Prindi

Harald Keres

1

Mõned mõisted on meile saanud väga koduseks. Neid vajame iga päev, nad on nii lihtsad ja läbinähtavad, et ligem järelemõtlemine nende üle näib olevat tarbetu. Kui aga keegi filosoofiliselt meelestatu on nad teinud meie mõtlemise objektideks, siis äkki märkame üllatusega, et see, mis oli nii endastmõistetavalt selge, ometi ei lase end kuidagi piiritella ega sõnade abil lähemalt kirjeldada. Mõiste kaotab oma selged kontuurid ja tema sisu hajub seda enam, mida rohkem püüame tasse tungida. Ta libiseb imeosavasti meie analüüsiva mõtte haardest ikka just siis, kui arvame olevat ta parajasti tabanud.

Kahtlemata on ka ruum seda laadi mõiste. Kõneldes ruumist igaüks arvab teadvatr millest on jutt. Kes on õppinud geomeetriat, võib pikemata pajatada suurest hulgast ruumi abstraktseist omadusist. Ta võib kõnelda punktest, sirgeist, tasapinnust ja neist algelisist, tõendamatuist, iseenesest selgeist tõdedest, mida nimetatakse geomeetria aksioomideks, ja veel suurest hulgast järeldusist, mis tuletatud aksioomidest ja moodustavad geomeetria lausestiku. Need tõed on nii pealesundivad, et kellelgi ei tule pähe kahelda üheski neist. Pole vaja suurt vaeva kellegi veenmiseks, et näiteks kaks sirget lõikuvad enamalt ühes punktis. Kui mõtleja on pisut skeptik, siis on tal varuks mõned piinavad küsimused. Kust tulevad nii kindlad ja vasturääkimist mitte sallivad tõed? Mis asjad on „punktid", „sirged", „tasapinnad", millest kõneleb geomeetria? Olen küll näinud mitmesuguseid esemeid: väikest tindiplekki valgel paberil või hõljuvat tolmukübemekest Õhus, pingutatud peenikest niiti, tasast peeglipinda, aga ma pole kusagil kohanud midagi, mida võiks nimetada punktiks, sirgeks või tasapinnaks. Kas need mõisted pole viimaks abstraktsioonid, mis peituvad ainult minu enese peas? Kust aga tulevad siis need aksiomaatilised tõed, millele baseerub õpetus ruumist -geomeetria-, ja mille teisiti mõtlemine näib olevat võimatu? Kas meie mõistus sisaldab neid a priori, nagu arvas Kant, või on nad teatud kujuga konkreetsete esemete omavaheliste vahekordade idealiseeritud abstraktsioonid, nagu arvatakse tänapäeval? Kui nii, mis on siis kriteeriumiks, et antud ese tähendaks „punkti", „sirget" või „tasapinda"? Kõik esemed on piiratud ulatusega, me saame nende vahekordi jälgida ainult oma ligemas ümbruses. Mis sunnib meid arvama, et samad vahekorrad on kehtivad ka laiemas ulatuses, meist väga kaugel? Kaks pingutatud niiti, mis ristuvad peeglipinnal, annavad ainult ühe „lõіке- punkti". Kust aga teame, et küllalt pikki niite võttes küllalt suurel peeglipinnal need niidid ei ristu kaks korda, olgugi et peeglipind on „tasane"? Kogemuse põhjal pole meil õigust eitada sellist võimalust, samuti ka mitte puht-spekulatiivseil kaalutlusil.

Nii ajab üks küsimus teist taga, ühe vastamine püstitab kohe uue. Esialgselt väga koduse ja selge mõiste analüüsimisel kerkib esile probleeme kui nõiakübarast. Nende lahendamine pole lihtne. See on pakkunud maailma suurile mõtlejaile tänamatut tööd paari aastatuhande vältel. Moodne teadus arvab suutvat vastata neile küsimusile rahuldavalt tänu möödunud sajandil ilmunud otse revolutsioonilisile vaateile ruumi kohta ja tänu relatiivsusteooria tekkimisele. Sellekohaste uurimuste tulemused on nii huvitavad, et nad väärivad lähemat tundmaõppimist.

II

Geomeetria on väga vana teadus. Ta sündis vanas Egiptuses, kus elanikel oli vaja rekonstrueerida pääle Niiluse üleujutusi omandite piire. Siin ta arenes puht-praktilise õpetusena, maamõõtmise kunstina. Kui kreeklased hakkasid tegema kultuurilisi laene Egiptusest, siis muu hulgas nad võtsid üle ka egiptlaste teadmised ruumist ja avastasid siin otsekohe tänuliku tööpõllu oma spekulatiivselt häälestatud mõistusele. Nad eemaldasid geomeetriast varsti praktilise elemendi ja hakkasid uurima geomeetrilisi tõdesid tõdede eneste pärast. Nad lõid võimsa mõttelise konstruktsiooni, mille süstemaatiliselt kokku võttis ja kirja pani umbes 300 a. e. Kr. E u k l e i d e s Aleksandrias. See ehitis oli nii tugev, et suutis mängeldes panna vastu väga ägedaile rünnakuile kuni kõige uuema ajani. Ei tohi unustada, et geomeetria pole ilmaski olnud keelatud teaduste nimestikus, et ajal, mil kiriku võim hakkas kokku varisema, ja skeptitsismi laine ähvardas pühkida kõik kindla ja püsiva, Eukleidese geomeetria näis säilitavat ainsana kõikumata aluse. Kui üldse kuski pidi leiduma absoluutset tõde, siis küll esmajoones siin, kus kõik on nii kategooriliselt range ja loogiline. Kõiki teadusi käsitella „geomeetriliselt" sai õpetlaste ideaaliks. Sellepärast on ka mõistetav, et nii põhilisena näiva teaduse uurimiseks kulutatud vaev ja töö pole väike ja rünnakud „Eukleidese ilmeksimatusele" polnud kerged. Kuid nad ei andnud tulemusi. Kreeklane oli osanud oma mõtted kirja panna sellise täpsuse ja selgusega, et ei õnnestunud tema süsteemis avastada ühtki olulist lünka ega eksitust, olgugi et kahtluse-kuradike pole kunagi andnud uurijaile täit rahu.

Ruum ise oli kreeklasele sama eksistentsiaalne ja objektiivne kui esemed, mida ta sisaldas. Ruumi tuleb õppida tundma esmajoones kaemuse kaudu. Näiteks selgitab Eukleides, mis on punkt, öeldes, et punkt on see, millel pole osa. P l a t о kirjeldab ruumi, kui kõikide esemete mahutajat.

Ruum on tühjus esemete vahel; ainult siis „siin on ruumi", kui pole esemeid lähedal. See tühjus on eksistentsiaalne, ta säilib ka siis, kui kõrvaldame kõik esemed temast. Geomeetria kirjeldabki just esemeteta ruumi. Ruum koos esemetega on kui lõhnav salv, mis koosneb võidest ja selle hulka segatud lõhnaõlist. Kui võidest peab saama valmistada kõiki lõhnavaid salve, siis peab võie olema suuteline võtma vastu kõiki lõhnu ühteviisi moonutamata, ta peab ise olema lõhnatu. Nii ka ruum, mis tahab mahutada kõiki esemeid moonutamata, peab ise olema vormitu ja substantsitu.

See vaade ruumile püsis läbi kogu keskaja kuni uue aja alguseni, mil läänes hakkas arenema iseseisev uus mõtlemine ja tõrjuma kõrvale antiikseid autoriteete. Descartes oma analüütilise geomeetriaga tõi revolutsioonilise pöörde ruumiõpetusse. Tema filosoofiline süsteem ei tunne looduses midagi, millel pole ülesandeid. Tühjus ei saa täita mingeid ülesandeid, järelikult teda pole olemas. Tühi ruum on võimatus. Esemed võivad viibida küll väga hõredas aines, mitte ilmaski aga tühjuses. Desсаrtes’ i vaadet kinnitasid arenevad füüsikalised teooriad. Newton’i kaasaegne hollandlane H u у g e n s leidis, et valguse nähtusi saab üllatavalt hästi seletada eeldades, et valgus on lainetuse struktuuriga. Kuna laine vajab levimiseks vahendajat meediumi, valgus aga teatavasti levib ruumis, kus puuduvad esemed, siis pidi esemetevaheline ruum olema täidetud hüpoteetilise ainega - valguseetriga. Sellega sai ruum samalaadiliseks kui temas sisalduvad esemed. Eeter ja eukliidiline ruum olid lahutamatud mõisted, ühe ja sama fenomeni kaks erinevat külge.

Siis tuli kõiki-kritiseeriv Kant. ta eraldas teravalt mateeria abstraktsest eukliidilisest ruumist. Substants moodustas objektiivse põhjuse tunnetuseks, ruum sai aga tunnetuse vormiks, mis on olemas iga inimese mõistuses a priori enne igasugust kogemust. „Ding an sich" pääseb meie teadvusse ainult siis, kui ta meie mõistuse poolt on surutud ruumilisse ulatuvusse. Seega ruum on primaarseni mõiste kui substants. „ Ma saan küll mõelda esemeid ära ruumist, aga ma ei saa mõelda ära ruumi esemete ümbert."

Nii ilus kui Kant’i süsteem ka polnud, ometi sattus ta peagi konflikti üha peenenevate katsete tulemusiga ja arenevate füüsikaliste ja matemaatiliste teooriatega. Kui ruum on aprioorne mõiste, siis peavad E u k l e i d e s e aksioomid olema pealesunnitult õiged, nende teisiti mõtlemine peab olema võimatu. Aga möödunud sajandi esimesel poolel õnnestus matemaatikuil konstrueerida nn. mitte-eukliidilisi geomeetriaid, mis baseeruvad Eukleidese aksioomidest erinevaile aksioomidele, ja ometi ei sisalda sisemisi vasturääkivusi. Neid süsteeme pole raskem mõista Eukleidese omast. Selgus äkki, et pole mitte ainult võimalik, vaid on isegi võrdlemisi kerge kujutella ruumi, mille omadusi kirjeldab mitteeukliidiline geomeetria, ühene ruumi mõiste kadus ja sellega koos ka selle mõiste aprioorsus. Veel enam: relativistid leidsid, et ruum pole üks ja sama isegi kõigile inimesile, kui nende liikumise olekud üksteise suhtes on erinevad. „Kui küsitleme loodust oma eksperimentidega, siis leiame, et ta ei tea midagi ruumist ja ajast, mis oleks ühine kõigile olendeile. Ruumil pole tähendust eraldi objektide tajust, ta on fiktsioon, lubamatu subjektiivne projektsioon välisilma, et aidata mõista ja kirjeldada objektide korrastust, nagu neid tunnetame," ütleb Jeans.

III

Ruumi küsimused on alati huvitanud nii filosoofe kui matemaatikuid, eriti viimasel ajal, mil E i n s t e i n tegi üldsusele teatavaks oma ideed, mis ähvardasid tuua samalaadse maailmavaatelise revolutsiooni nagu omal ajal K o p e r n i k u s e õpetused liikuvast Maast ja paigalseisvast Päikesest. Aga filosoofid ja matemaatikud kõnelesid eri keelt ühiste sõnadega! Nad ütlesid: ruum, geomeetria, ja mõtlesid kumbki hoopis erinevat. See kahemõttelisus on raskendanud mittematemaatikuile arusaamist Einsteini relatiivsusõpetusest ja andnud talle soovimatu müstilise ja paradoksaalse varjundi.

Ruum, nagu teda tunneme oma kaemuse kaudu ja mida me edaspidi nimetame f ü ü s i k a l i s e k s ruumiks, on midagi muud, kui ruum, millest kõnelevad matemaatikud ja mida me nimetame m a t e m a a t i l i s e k s ruumiks. Matemaatikud on aegade vältel ikka enam jätnud tagaplaanile intuitiivselt omandatud idee metafüüsilise sisu ja püüdnud tõsta esile omadusi ja v a h e k o r d i ruumi elementide vahel, seoseid üksikute mõistete vahel. Lõpuks kaemuslik algidee kadus geomeetria süsteemist ja säilis ainult abstraktne formaal-loogiline ehitis, järeldiste kogu, mis tugineb teatud algtõdedele-aksioomidele. „Punkt", „sirge", „tasapind", mis E u k l e i d e s e l e olid nii konkreetsed mõisted, esemed P l a t о ideede riigis, mis puudulikult kehastatud ümbritsevas välisilmas, pole tänapäeva matemaatikule muud kui sõnad. Nad on sümbolid kõigile mõisteile, mille kohta on kehtivad meelevaldselt püstitatud algtõed. Ka loogik, kui ta näiteks koostab süllogismi skeemi, kasutab mõistete märkimiseks suuri ladina tähti, mõtlemata nende all midagi konkreetset ja nõudes ainult, et nad paigutatuina süllogismi vormi ei tekitaks vasturääkivusi. Mõlemad, nii matemaatik kui ka loogik, teavad küll, mida nad räägivad, aga ei tea, m i l l e s t nad kõnelevad. Aksioomide põhjal võib „punktide", „sirgete", „tasapindade" kohta palju rääkida ainult järelduste tegemise teel. Niisugune järelduste kogu moodustabki geomeetria sisu. On nõutav, et järeldusis ükskõik kui kaugele minnes, me ei satuks vastuolusse. See tähendab, et aksioomid, mis on ju kõikide järelduste aluseks, ei tohi sisaldada varjatud vasturääkivusi. See on nõue, mis meelevaldse aksioomistiku koostajale esitab väga tõsiseid raskusi.

E u k l e i d e s e aksioomid moodustavad vasturääkivusita süsteemi. Neile tuginev „eukliidiline geomeetria" on kõigile koolist tuntud. Kuid peale selle on veel teisi aksioomistikke, millele saab ehitada vastuoludeta geomeetriaid, nn. „mitte-eukliidilisi geomeetriaid". Neist tähtsaimaks on osutunud kaks, mis on seotud L o b a t š e v s k i ’ ja R i e m a n n’i nimedega. (JPEG) Eukleidese aksioomistikus leidub järgmine nn. paralleelide aksioom: tasapinnal saab. sirgele s läbi mitte tema peal asuva punkti P tõmmata P ainult ühe sellise sirge s’, mis ei lõika sirget s ja mida nimetatakse paralleeliks sirgele s. See on ajalooliselt kuulus aksioom. Taheti näidata, et ta pole iseseisev aksioom, vaid s järgneb ülejäänuist, ja seejuures ilmnenud mõttekäigud viisid lõpuks mitte-eukliidiliste geomeetriate avastamiseni. L o b a t š e v s k i ’ , R i e m a n n’i ja Eukleidese geomeetrial on kõik aksioomid peale paralleelide aksioomi ühised. L o b a t š e v s ki geomeetrias on läbi punkti P võimalik tõmmata lõppmata palju selliseid sirgeid, mis ei lõika sirget s, ja kõik nad asuvad kahe piirsirge Si ja S2 vahel. Riemanni geomeetrias sirgel s pole ühtki paralleeli, kõik sirged ühel tasapinnal lõikuvad omavahel.(JPEG)

Nii esinevad tänapäeval üksteise kõrval täiesti samaväärsed loogilised süsteemid, mitmesugused geomeetriad. Kui ruum oleks aprioorne mõiste, siis peaks tema kirjeldamiseks kõlbama ainult üks geomeetria, mille osalinegi ümbermõflemine oleks võimatu ja paratamatult vasturääkivusisse viiv. Tõik, et see nii ei ole, sunnib meid hülgama usu ruumi aprioorsusse. ülalkirjeldatud tee pole ainus võimalik abstraktse geomeetria ülesehitamiseks. On veel teine, mitmeti mugavam analüütiline viis samade tõdede saavutamiseks. Abstraktne ruum sisaldas lõpmata palju omavahel täiesti samaväärseid elemente - punkte. Kui tahame neid kuidagi eraldada üksteisest, peame kasutama iga üksiku punkti individualiseerimiseks oma märki, näiteks suurt ladina tähte, mis oleks selle punkti nimeks. Selle asemel aga, et kirjutada „punkt A" ja mõelda teatud kindlale ruumi punktile, kirjutame üles n arvu

(xi, x2 , . . . , x n )

ja loeme seda arvkompleksi punkti A representeerijaks. Arvud Xi, . . . ,xn on punkti A koordinaadid. Nad on punkti määrajad ruumis. Igal punktil on oma koordinaadid, nagu igal inimesel on oma nimi tema eraldamiseks teiste omasuguste hulgas. Kõik võimalikud n-liikmelised arvkompleksid määravad punktkogumi, mis ongi meie abstraktseks ruumiks, ja nimelt n-dimensionaalseks ruumiks. Dimensioonide arv ei tähenda muud midagi, kui punkti määramiseks vajalikku koordinaatide arvu. Näiteks on materiaalne risttahukas iseloomustatud nelja arvuga: pikkus, laius, paksus ja materjali erikaal. Nimetame punktiks iga niisugust risttahukat, siis kõik mõeldavad risttahukad moodustavad neljadimensionaalse abstraktse ruumi.

Sellises üldises ruumis defineerib matemaatik „jooned", „pinnad" ja teised „kujundid" analüütiliste avaldiste, näiteks võrrandite, abil: antud võrrand esitab teatud pinda, antud võrrandite rühm teatud joont, jne. Neid kujundeid on võimalik ka „mõõta". „Kaugus" kahe punkti vahel on arvutatav nende punktide koordinaadest. Arvutuseeskiri fikseeritakse teatud matemaatilise avaldise abil, mida nimetatakse ruumi meetriliseks põhivormiks ja mis pole muud, kui meelevaldne positiivselt definiitne diferentsiaalne ruutvorm. Ta määrab ühe hoobiga terve ruumi meetrika: eeskirjad nurkade, pindade jne. mõõtmiseks. Need jooned, mida mööda mõõtes kaugus kahe punkti vahel saab minimaalne, on „sirged", need pinnad, millel on igas suunas võimalik tõmmata sirgeid, on „tasased". Vahekorrad ruumi kujundite vahel avalduvad jälle matemaatilisis valemeis, kõik aksioomid ja laused kirjutatakse üles matemaatika sümbolite abil. Geomeetria pole muud, kui valemite kogu. Kui matemaatik kirjeldab sõnadega n-dimensionaalset ruumi, siis ta ainult interpreteerib oma valemeid, kasutades kooligeomeetria terminoloogiat. Kolmedimensionaalsete geomeetriate hulgas leidub üks, mille punktide, sirgete, tasapindade vahel on kehtivad E u k l e i d e s e aksioomid. See on tähelepanuvääriv tõik ja viib mõttele, kas füüsikalist ruumi ei saaks kirjeldada mõnusasti niisuguse kolmedimensionaalse matemaatilise ruumi abil. See on analüütilise geomeetria idee, mille isaks on Descartes.

IV

Füüsikaline ruum on konkreetne ruum, millest on pärit meie kogemused ja mida arvame vahenditult tunnetavat loodusest. Kant pidas teda aprioorseks mõisteks: kõiki esemeid ära mõeldes säilib ometi ruum, puhas ruum, mis surub end meile peale ja teeb endastmõistetavaks need algtõed, mida pani kirja Eukleides. Kas nii? Mõtleme tõesti ära k õ i k esemed, laua oma eest, tooli oma alt, seinad oma ümbert, majad, linnad, maa, kuu, päikese, tähed, ja katsume kujutella, mis säiliks. Kahtlemata meie ajudes säiliks mälestus sellest, mis meid äsja ümbritses, mälestus tuttavaist esemeist ja neist abstraheeritud vormidest, seega ka kogemuste abil tundma õpitud ruumist koos tema omadusiga. Tõelikult aga ei säiliks midagi. Me leiaksime enese hõljumas pilkases pimeduses, ei ühtki ärritust välisilmast. Mälu abil me kujutleme enese ümber tühja ruumi, millest ühe osa valdab nüüd meie keha, kuid meil pole mingisugust võimalust teha kindlaks, kas sel tühjal ruumil on need omadused, millised talle omistame. Me ütleme: nüüd olen ma siin, ja nüüd siin, kuid kas see ruumi osa, mida valdasin äsja, on identne sellega, mida valdan praegu, pole mingil viisil määratav. Me ei eralda liikumist paigalseisust, sest pole fooni, mille taustal fikseerida asukohti. Siis pole võimalik fikseerida ka jooni ja pindu, veel vähem kontrollida nende omavahelisi vahekordi. Ruum, mida tunnetaksime, poleks muud, kui pidev ulatuvus, mille viimane lihtsaim elementon „siin" - ruumi punkt. Kõik ülejäänud kujutelmad on abstraktsioonid: mälus, millel pole vastet välisilmas. Tühi ruum pole tajutav, tal pole objektiivsust. Kui me poleks ilmaski näinud valgust ja esemeid ja tunneksime ühevõrra hästi eukliidilist ja mitte-eukliidilisi geomeetriaid, meil poleks vähimat põhjust omistada ümbritsevale ruumile esmajoones eukliidilisi omadusi. Mis säilis Kant’ile peale esemete äramõtlemist, oli ainult mälestus sellest, mida harjutud nägema. Reaalne ruum kaob ühes oma sisuga. Niisama kui esemeid pole ruumita, pole ka ruumi esemeteta.

Ruum ilmutab end esemete kaudu, mis on ka ainsad tunnetuse objektid. Geomeetrilised kehad on kõik abstraktsioonid tahkeist materiaalseist kehadest. Mõõta saame ainult ainelisi objekte, kasutades mõõdupuuks teisi muutumatu kujuga standard-objekte, ja alles siit kaudu saame tuletada kehade geomeetrilisi omadusi. Valmis ruumi mõistet pole enne, kui pole kogemusi sellest, mis on ruumi sees. Vorm ja sisu sünnivad ühekorraga, üks pole primaarsem teisest. Seega aksioomid, mis on kehtivad füüsikalise ruumi elementide vahel, peavad olema empiirilised tõed. Nad on igaühel pärit kogemusist. Igapäevased kogemused annavad aga jämedaid tulemusi, neid ei tohiks pikemata kasutada teadusliku distsipliini ülesehitamiseks. Kas poleks võimalik peente katsetega määrata "õigeid" aksioome ja nii kontrollida, milline geomeetria on kehtiv tõelikult looduses?

Juba varem vihjasime võimalusele kirjeldada füüsikalist ruumi matemaatilise ruumi abil. Tühi füüsikaline ruum oli ainult vormitu punktkogum. Kui oleks võimalik selles „siin"-kogumis iga punkti („siin") iseloomustada ühe arvkompleksiga, selle punkti koordinaadega, siis oleks vastav matemaatiline ruum loodud ja jääks üle ainult vaadata, milline on tema geomeetria. Kahjuks pole see lihtne ja selge tee pikemata käidav, sest pole võimalik eraldada kahte punkti teineteisest, kui pole kindlat tausta, mille suhtes määrata asukohti. Niisuguse ideaalse tagapõhja moodustaks küll valguseeter, liikumatu kõikjalesinev substants. Ta oleks raamistikuks, mille suhtes saaksime fikseerida absoluutseid asukohti. Sajandi algul ameeriklased Michelson ja M o r l e y korraldasid väga teravmeelse katse, et teha kindlaks valguseetri olemasolu. Igaüks teab, et lahtise autoga kiiresti sõites on tunda tugevat tuult, olgugi et paigal seistes on ilm täiesti vaikne. Kui Maa liigub valguseetris, siis peaksime ka Maa peal tundma "eetri tuult". Michelson-Morley katse näitas aga, et sellisest tuulest pole jälgegi märgata. Järelikult, kui me ei taha tagasi pöörduda vanale geotsentrilisele maailmasüsteemile, ruum ei sisalda valguseetrit. Siis osutub võimatuks ka absoluutne asendimääramine ruumis. Oma asupaiga fikseerimiseks tuleb kasutada kindlaid ja püsivaid suhteobjekte, nagu teeb kalur merel, kui ta määrab võrkude asupaika peilimisega kaldalasuvate tähiste suhtes. Need suhteobjektid tulevad valida ruumis meelevaldselt. Näiteks igapäevases elus fikseerime oma asendit Maa või temaga liikumatus ühenduses olevate esemete suhtes, astronoomid ja füüsikud kasutavad suhteobjektideks kinnistähti. On tahkete kehade abil õnnestunud asendimääramine - olgugi relatiivne -, siis saame eraldada üksikuid ruumi punkte, kuid me ei saa veel määrata nende koordinaate, kui me ei tea, mis on füüsikalises ruumis sirge joon. Matemaatilises ruumis oli kokkuleppe-asi, mida nimetasime sirgeks, siin aga mitte. Joonlaua serv on ju sirge ainult siis, kui selle serva pilt. taandub punktiks joonlaua olles asetatud vaatesuunda. Püssiraua sirgjoonsust proovitakse sel teel, et raud asetatakse vastu valgusallikat ja vaadatakse, kas raua õõnes tekib varje. See tähendab, et sirgeks nimetame joonlaua serva või püssiraua õõnt siis, kui valguskiir rändab takistamatult piki nende esemete pinda, lahkumata sealt üheski punktis. Sirge joon on valguskiire tee ruumis. See on definitsioon, mitte tõik, mis oleks iseenesest selge. Ta pole ainus võimalik definitsioon, ent viib samadele tulemusile, kui teisedki.

Mõeldes joonlaua serva küljest ära joonlaua enese, säilib see sirge, millele mõtles Eukleides oma definitsioonide koostamisel. Ka punkt ja tasapind sedalaadi abstraktsioonid konkreetseist tahkeist esemeist. Olendile, nagu sääsk, kes sünnib, elab ja sureb udupilves ja kes pole iial näinud tahkeid kehi, on sirged ja tasapinnad, millest kõneleb Eukleides, sama eluvõõrad abstraktsioonid, kui meile näiteks hüpertasapinnad n-dimensionaalses ruumis.

Sirgete ja tasapindade abil on võimalik määrata punktide koordinaate (projektiivseid koordinaate), ilma et oleks vaja mõõta pikkusi või minna välja kasutadaolevast piiratud ruumi osast. Igale punktile saadakse kolm üksteisest sõltumatut koordinaati, neist koordinaatkolmikuist moodustatud matemaatiline ruum on kolmedimensionaalne. öeldakse lihtsamalt, et füüsikaline ruum on kolmedimensionaalne. Nüüd on baas olemas, et toimetada uurimisi otsustamiseks, milline geomeetria on kehtiv looduses. Me koostame sirgete ja tasapindade „võrrandid", s.o. need analüütilised avaldised, mis representeerivad meie matemaatilises ruumis füüsikalise ruumi sirgeid ja tasapindu, ja vaatame, milliseis matemaatilisis valemeis avalduvad nende kujundite omavahelised vahekorrad. Me uurime, kuidas saada kahe punkti vahelist kaugust. Looduses teatavasti mõõdame pikkusi muutumatu standardühikuga (selleks on mõni väga stabiilne tahke keha, näiteks algmeeter Pariisis, teatud värvilise valguse lainepikkus, jne.), vaadates, mitu korda ühik mahub kahe punkti vahele paigutatud sirge tüki peale. Saame teatud mõõduarvu, mis laseb end analüütiliselt avaldada punktide koordinaatide kaudu. Selle valemi viime üle oma matemaatilisse ruumi ja tuletame temast ruumi meetrikat määrava diferentsiaalvormi. Jääks üle veel ainult teha kindlaks, millise geomeetria oleme saanud oma matemaatilises ruumis, ja olekski teada füüsikalises ruumis kehtiv geomeetria. Aga me satume kohe uutele raskustele. Meie mõõtmistäpsus on paratamatult piiratud. Kõik mõõtmistulemused on ainult ligikaudsed, suurema või vähema peenusega määratud arvud. Sellepärast meie koostatud analüütilised avaldised on ka ainult lahendid tõelisile vahekorrile, olgugi tänapäeva aukartustäratava mõõtmistäpsuse juures väga head lahendid. Me saaksime parimal juhul määrata ainult oma ümbruse ligikaudse geomeetria.

Teiselt paolt küünime oma kogemusiga(JPEG) ainult enese lähidate, avastatud tõed on rangelt kehtivad ainult seal, kust nad saadud. Kaugemaile ruumi osadele omistada samu omadusi on juba ekstrapolatsioon, teatud riisikoga seotud toiming. Ruum vaadelduna korraga suuremas ulatuses võib välja näha hoopis teisiti, kui oleme harjunud teda nägema oma ligiduses. Ringi kaare tükk s ligineb ikka enam ja enam sirge tükile, kui ringi raadiust laseme kasvada piiramatult. Kui pole ette teada, kas joone tükk s on ringi või sirge osa, ja kui arvessetulevate ringide raadiused on küllalt suured, siis ükski mõõtmine ei võimalda meil otsustamist ühe või teise väite kasuks. Praktiliselt peaksime joone tükki aga sirgeks, ühedimensionaalsed olendid, kes elaksid sellel ringil, kujutleksid oma „ruumi" eukliidilisena, kui neil pole korraga rohkem kättesaadav, kui väike lõiguke s. Liikudes Maa peal ainult ühe asula piirides, ei tule kellelgi pähe pidada maapinda kumeraks. Seda mõtet ei teki ka ränduril, sest korraga on kättesaadav ikkagi väike tükike maapinnast, mis igas oma punktis paistab tasasena. Kaks vaatlejat, kes asuvad maapinnal diametraalselt teineteise vastas, üks ühel pool, teine teisel pool maakera, arvaks end mõlemad viibivat ühel ja samal tasapinnal. Kolmas vaatleja küllalt avara vaateulatusega, kes näeks mõlemat esimest korraga, leiaks nad olevat hoopis kummalises asendis, üks oleks teise peegelpildiks. Mõlemad vaatlejad asuksid ühel sirgjoonel nii, et see, mis ühele on „ülal", on teisele „a l l" . Suuremas ulatuses vaadelduna ilmnevad maapinna omadused, mis igapäevaseile kogemusile jäävad kättesaamatuiks. Kolmedimensionaalses ruumis pole olukord teissugune. Me määrame ruumi ligikaudse geomeetria, kasutades õige väikest ruumi osa, ja leiame, et see on eukliidiline. Oleks aga lausa rumalus sellest järeldada, et terve ruum on eukliidiline, et kuitahes suures ruumi osas on kehtivad Eukleidese aksioomid. On väga hästi mõeldav, et füüsikalises ruumis on kehtiv mõni mitte-eukliidiline geomeetria, kuid ruumi väikeses osas pole see mõõtmiste teel kindlaks tehtav. Me jälgime ühel tasapinnal kaht valguskiirt (sirget joont), mis katsepiirkonnas kogu aeg asuvad üksteisest ühekaugusel ja millest me seetõttu kipume järeldama, et nad ilmaski ei lõiku, s. o. on paralleelsed. Kust aga teame, et valguskiired siiski ei ligine üksteisele, kuid meile kättesaadavas ruumiosas see liginemine on liiga väike, et olla kindlakstehtav mõõtmiste abil? Sirgete paralleelsus pole kontrollitav katseliselt. Võib-olla et paralleelseid sirgeid pole olemaski, võib-olla antud sirgel on üks või lõpmata palju paralleele, mis läbivad ühe punkti. Tunnustades mitte-eukliidiliste geomeetriate võimalust looduses, avanevad üllatavad väljavaated. Oleme harjunud nägema, et rändaja liikudes mööda sirget joont kaugeneb pidevalt lähtepunktist, ja teeme siit kergemeelse järelduse, et rändaja saab oma tahtmise järgi minna kuitahes kaugele, kui tal ainult on küllalt aega. Selline otsus pole millegagi põhjendatud. Rändaja võib jõuda kord punktini, kus tema kaugus lähtepunktist on maksimaalne, ja peale läbimist siit ta hakkab uuesti liginema lähtepunktile, olgugi sealt poolt, kus oli ta selg rännakut alustades. Ka maapinnal liikudes ühes kindlas suunas me ei saa kaugeneda lähtepunktist meelevaldselt palju, vaid hakkame talle lõpuks uuesti liginema. Siin paistab see loomulikuna, sest maapind on ju kõver, valguskiir ei rända piki maapinda. Kuid ka ruum võib olla „kõver" ses mõttes, et tema sirged on k i n n i s e d jooned. Valguskiir, mille teel pole takistusi, tuleb ikka ja ikka jälle tagasi lähtepunkti. Pole midagi võimatut mõttes, et rändaja, kelle eluiga küllalt pikk, võiks liikudes mööda sirget joont edasi ühes suunas jõuda kord tagasi sinna, kust alustas liikumist, olles rännanud Kolumbusena ümber universumi. Niisugune maailmaruum on kinnine ja lõpliku ruumalaga, aga p i i ritu. Keegi ei leiaks kunagi tõkkeid, mille taga pole enam ruumi, kuid ta ei saaks ka püstitada ehitisi, mille maht oleks ettemääramatult suur. Mõistus näib protestivat sellise väite vastu. Lõpmatus, mis tavaliselt on väga tülikas mõiste ja toob ainult sekeldusi meie mõttelisisse konstruktsioonesse, on enesele ruumi küsimusis kummalisel viisil hankinud väga elujõulise kodanikuõiguse. Ometi peaks lõplik ruum olema mõistusele hoopis vastuvõetavam ja paremini sobiv looduse süsteemi. Tarvitseb ainult raputada enesest harjumusest sissejuurdunud mõtted ja kujutelmad, ja vaadata ümbrusele uue pilguga, et märgata mitmegi sajandeid üldiselt õigekspeetud idee absurdsust. Lõpmatu ruum on nii kunstlik ja vähepõhjendatud tulemus spekulatsioonidest ega tugine kuidagi kogemusile. Astronoomid iga uue võimsama pikksilmaga koguvad tõiku, mis vihjavad mitte-eukliidilisele kinnisele ja lõplikule ruumile. Aga isegi siis, kui ruum igas oma punktis, s. o. küllalt väikeses piirkonnas oleks t ä p s e l t eukliidiline, ta ei tarvitseks olla lõpmatu. Lõpmatus pole eukliidilisegi ruumi oluline omadus. Ülalesitatud mõtted vihjavad neile praktilisile raskusile, mida tuleb ületada looduses kehtiva geomeetria määramisel. Tänapäeval oleme alles kaugel lõplikust lahendusest. Füüsikud oma teooriate loomisel valivad universumi geomeetria oma tahtmise järgi, sest kõik geomeetriad annavad väikeses ulatuses ühe ja sama lähendi, mis meile tuttav kogemusist. Ainsaks põhimõtteks niisugusel valikul on, et füüsika seadused avalduksid võimalikult lihtsasti ja lühidakujuliselt. See toiming on nagu maakaardi valmistamine, kus kaardistaja, kes ei tunne Maa kuju, otsib sobivat pinda, millele joonistada maakoore sünnitisi. Ta võib valida näiteks tasapinna ja kerapinna vahel, kuid eelistab kerapinda, sest siin on lihtsam kujutada tuntud vahekordi.

V

Ruum pole ainus abstraheerimise tulemusel saadud fiktsioon, mis etendab tähtsat osa loodusteadusis. Kõik empiirilised füüsika seadused on niisuguse iseloomuga. Me teeme katseid, mõõdame suurusi ja määrame mõõtmisel saadud arvude abil seoseid ja vahekordi mõõdetavate suuruste vahel, pannes need vahekorrad kirja matemaatilisis sümboleis. Aga katse tulemus pole ilmaski vaba mõõtmisel vältimatult tekkivaist vigadest ja vahel ka teatud kõrvalmõjudest, sellepärast katse kunagi ei anna täpselt neid tulemusi, nagu nõuab matemaatiline valem. Viimane on ideaalne seadus, mida pole võimalik katse abil täpselt tõendada, ta on katse tulemusist saadud ekstrapolatsiooni tulemus, reaalsete vahekordade idealisatsioon. Näiteks õpetab elementaarne füüsika: keha, kui talle ei mõju väliseid jõude, seisab igavesti paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjoonselt lõpmatuseni. Midagi sellesarnast pole keegi näinud, küll aga on tähele pandud, et siledal jääl veerema tõugatud raske kera liigub sirgjoonselt, ja palju kaugemale, kui samades tingimusis tänavasillutusel. Lõpuks jääb ta aga ometi seisma. Olgugi et kogemus näitab teist, usume siiski ülalnimetatud liikumisseaduse kehtivust. Me arvame, et korraldades katset ideaalseis tingimusis, olles kõrvaldanud kera veeremist takistava hõõrumise, kera liiguks tõepoolest sirges joones ühtlase kiirusega lõpmata kaua.

Nii pole füüsika seadused oma olemuselt muud kui matemaatilised valemid, mida teatud reservatsioonidega võime rakendada oma ümbruse kirjeldamiseks. Võtame vaatlusele need seadused, mis kirjeldavad sündmusi ruumis ja ajas. Ruumi punkti fikseerimiseks vajasime kolme arvu x, y, z, ajamomendi fikseerimiseks vajame ainsa arvu t. Seega meie väljavalitud valemeis esineb kokku neli rippumatut muutujat x, y, z, t. Loeme neid nelja arvu punkti koordinaadeks neljadimensionaalses matemaatilises ruumis, siis meie valemid esitavad seal ruumi kujundeid: jooni, pindu, jne. See neljadimensionaalne matemaatiline ruum ongi relativistide maailmkond, mille raamides nemad vaatlevad kõike toimuvat. Ta on samasugune fiktsioon nagu kõik matemaatilised ruumid, ja tal pole mitte mingisugust tähendust meie meeltele. Viimaste jaoks on ikka ainult olemas kolmedimensionaalne füüsikaline ruum ja ühedimensionaalne aeg, mingit sünteesi neist luua pole võimalik. Kuid niisuguseid takistusi ei ole formaalsele mõistusele. Kui võtta neljanda koordinaadi t asemele suurus ict = t , kus i = √-1 on nn. imaginaarne ühik, с valguse kiirus, siis muutuvad valemid neljas muutujas x, y, z, t täiesti sümmeetriliseks, pole põhjust neljanda dimensiooni esindajale t omistada erilist tähendust neis valemeis. Loodusseadusis kõik neli koordinaati on samaväärsed. Seda tõika on väga elegantne väljendada järgmiselt: loodus ei tunne aega ja ruumi eraldi, vaid ainult ühte neljadimensionaalset aegruumi.

See aegruum on absoluutne selles mõttes, et ta on kõigile vaatlejaile üks ja sama. Tavaline kolmedimensionaalne ruum ja ühedimensionaalne aegpole sellised. Need on subjektiivsed mõisted ja saavad erinevad vaatlejaile, kes liiguvad üksteise suhtes. Niisugused vaatlejad näeks ühte ja sama nähtust igaüks omal viisil. Kaks sündmust, mis ühele paistavad toimuvat samaaegselt, toimuvad teisele üksteisele järgnevalt, sündmusi eraldav ruumiline kaugus näib ühele pikemana kui teisele. Pole midagi paradoksaalset neis väiteis, mis on ainult otsekohesed järeldused M i c h e l s o n - M o r l e y katse tulemusist. See katse näitas muuseas, et valguse kiirus on üks ja sama kõigile vaatlejaile, sõltumatult sellest, kuidas nad üksteise suhtes liiguvad. Kui lennukis sõitja näeb valgust, levivat sama kiirusega, mis maa peal paigalseisja, siis peab ruum ja aeg lendurile olema teissugune kui maapealsele vaatlejale. Vastasel korral me ei pääse vasturääkivusist, sest kihutava rongi kiirus ei saa olla üks tee ääres seisjale ja rongiga rööbikult sõitvas autos istujale. Aga neljadimensionaalne aegruum on ühesugune nii lendurile kui maapealsele vaatlejale, siin näeks mõlemad loodusnähtusi ühte viisi. Kahe sündmuse „kaugus" aegruumis on mõlemale ühepikkune. Seega aegruum näib olevat objektiivne, midagi, mis on omane loodusele, mitte aga vaatlejale. Viimane - sõltuvalt oma liikumise olekust - lõhub neljadimensionaalse terviku kolmedimensionaalseks ruumiks ja ühedimensionaalseks ajaks. See on subjektiivne ja individuaalne toiming, millest loodus ei tea midagi.

Esitatud mõtted on pärit nn. piiratud relatiivsusteooriast. Nad näivad pisut kummalisina ja kogemusile vastukäivaina. Ent kogemus ei saa ilmutada ruumi ja aja relatiivsust, sest tunduvad erinevused üksikute vaatlejate aja ja ruumi mõisteis ilmneks alles siis, kui vaatlejate relatiivsed kiirused küüniksid valguskiiruse lähedale (valgus rändab igas sekundis 300.000 km). Vaatlejad, kes on sunnitud elama Maa peal, võtavad kõik ühteviisi osa Maa liikumisest maailmaruumis, nende liikumise kiirused üksteise suhtes on valguskiirusega võrreldes kaduvalt väikesed (püssikuul liigub kiirusega 300 m/sek, mis on ainult üks miljondik osa valguskiirusest). Sellepärast mõõtmised näitavad praeguse täpsuse juures sündmusi ruumis ja ajas kõigile ühesuguseina. Ruum ja aeg eraldi on meile praktiliselt sama objektiivsed kui neljadimensionaalne aegruum kosmilisele vaatlejale.

1

2014-04-02